“两位数乘两位数”建模点分析与教学建议

淄博市淄川区教研室   王年超

 

一、建模点梳理

模型1：两位数乘两位数竖式结构模型。

模型2：算理直观模型。

模型3：竖式计算方法模型。

模型4：乘法分配律渗透模型。

模型5：乘法结合律渗透模型。

模型6：化归思想渗透模型。

二、模型分析

模型1：两位数乘两位数竖式结构模型。这个模型主要由三种符号组成，分别是数字、横线、隐藏的运算符号。数字符号又由三部分组成，最上面的是乘法算式，中间是运算过程，下面是运算结果。这个结构决定了两位数乘两位数计算的复杂性。

模型2：算理直观模型。两位数乘两位数学习过程中，需要借助直观模型来理解算理。主要在两个重要节点上用到算理直观模型，整十数乘整十数、非整十数乘非整十数。算理直观模型让学生很清楚地“看到”乘的过程，深化学生对两位数乘两位数乘法的理解。

模型3：竖式计算方法模型。这是解决先算什么，再算什么的问题。包括每一步计算什么、怎么算，每一步写什么、怎么写的问题。在学习过程中，通过把直观模型、竖式计算的原始模型（第二次乘末尾是0）、简化模型（第二次乘省略0）进行对比，使学生理解计算方法的来龙去脉。

模型4：乘法分配律渗透模型。在竖式计算中，如计算23×31，实际上是把31看成（30+1），再用23分别与30和1相乘，得到的结果再相加。这是乘法分配律的实际运用，是对乘法分配律的渗透，以后学习乘法分配律的时候，可以把乘法竖式的计算过程作为一个例证来运用。

模型5：乘法结合律渗透模型。以23×30为例，可以先计算23×3=69，再计算69×10=690。也可以先计算23×10=230，再计算230×3=690。这是乘法结合律的渗透，也有乘法交换律。

模型6：化归思想渗透模型。两位数乘两位数竖式计算，是以两位数乘一位数为学习基础的，在实际计算中，也是将两位数乘两位数化归成两位数乘一位数的问题来解决的。

三、模型探源

两位数乘两位数的计算是学生第一次学习多位数乘多位数，在这之前都是学习一位数乘一位数或多位数乘一位数，无论在算理理解上或者算法掌握上都有一定的难度。

由此得出，两位数乘两位数乘法模型的源头是乘法的意义和一位数乘一位数、多位数乘一位数，是这两种乘法模型的发展。两位数乘两位数分两步计算，即第二个因数的个位数、十位数分别与第一个因数相乘，得到的两个积再相加，和就是计算的最后结果。这两个分步计算都运用了两位数乘一位数的运算模型，第一次是几个一与两位数相乘，结果是多少个一，第二次是几个十与两位数相乘，结果是多少个十。理解了这两个结果表示的意思，也就理解了竖式中间部分的数位对齐问题。

这两个分步相乘的过程又是运用了一位数乘一位数模型。这样，一位数乘一位数、两位数乘一位数、两位数乘两位数，三个运算模型形成了紧密联系的结构。

由一位数乘一位数模型再往前追溯，就能发现两位数乘两位数运算模型在本质上是计数模型——乘法是求相同加数和的简便运算。因此就有必要让学生能够直观地看到计算的结果，用直观模型让学生看到上面两步乘法的结果，也就是能够一个一个地数出结果。当然不是真的要一个一个地去数，而是能够直观地感受到乘法的结果是由若干个一构成的，进而理解结果是由若干个百、若干个十、若干个一构成的，这样就把两位数乘两位数同计数单位和计数单位的个数联系起来。

四、模型意义

两位数乘两位数模型是一个很重要的结构节点，是以后一切多位数乘多位数的基础。学生由以前一个乘法竖式表示一次运算过程，到两次乘法运算，结果再相加，是一个高度抽象的计数过程，深化了学生对数运算概念的理解。

两位数乘两位数竖式结构模型，是较为复杂的符号表达，对思维的要求提高了。首先，学生需要记住模型的每一个步骤，知道每一步做什么，表示什么意思；其次，在运算中间需要转换运算形式，先乘后加，乘法的过程中如果有进位，就会乘中有加，哪一个环节出现了问题，都会导致计算错误。因此，两位数乘两位数提高了学生数学运算符号的理解能力，也提升了学生的思维水平。

两位数乘两位数运算的复杂性增加了，对思维的要求更高了。

五、模型发展

两位数乘两位数乘法竖式模型源自中国古代的算筹计数，形式和现在所用的竖式非常相似。算筹分为上中下三层，上层和下层是两个因数，中间是积。也就是说在两个因数和积的排列顺序上是不同的，但计算的过程是一样的，只是受计算器具的限制，古代无法运用数字这样的符号灵活地表达大量的计算信息，所以计算过程很难显性地表达出来。

上述算筹计数的过程，只能表示出乘法算式和计算的结果，中间过程依赖于口算。与之相比，现在所用的乘法竖式模型，既能表达乘法的算式，也能表达每一步的计算结果，是模型发展的进步。

六、教学建议

1.以算理作为模型学习的核心。两位数乘两位数模型的教学目标定位要根据两方面因素来确定：学生学习基础和知识内在结构。学生已经学习了两位数乘一位数，具备了一定的计算能力，两位数乘两位数可以化归为两位数乘一位数。以前学习的两位数乘一位数，是几个一与两位数相乘，结果是多少个一，现在出现了几个十与两位数相乘，结果得到多少个十，这是跟以前有重大变化的一点。乘法竖式中第二步乘得的积无论是个位写0还是省略0，都源于此。因此两位数乘两位数的学习目标，首先是要理解算理，让学生理解计算的每一步是什么意思，其次是总结计算的方法，准确书写竖式。这个目标是把算理放在学习中心位置，以算理学习来统领方法学习，方法的建立必须以算理理解为中心。

2.要理清模型学习内容的层次性。两位数乘两位数模型的学习可以分为三个层次：整十数乘整十数模型、两位非整十数乘整十数模型、两位数乘两位数模型。

先学习整十数乘整十数模型，数的形式接近于一位数乘一位数，计算方法也类似一位数乘一位数。如20×30，学生能够想到这样一些方法：因为2×3=6，2和3分别扩大到原来的10倍得到20和30，20×30的结果就是600；先计算20×3=60，3扩大到原来的10倍就是30，所以20×30的结果就是600。这个学习过程让学生建立起整十数乘整十数，结果是整百数的观念。

再学习两位非整十数乘整十数模型。计算方法类似于两位数乘一位数，区别在于得到的结果是多少个十。如23×30，学生会先计算23×3=69，再在结果的末尾添上一个0，得690。

最后学习两位数乘两位数模型。两位数乘两位数的难点在第二步计算，要用第二个因数十位上的数去乘第一个因数。着重解决两个问题，一是如何想，二是如何写。如何想，要想明白这里得到的是几个十，不是几个一，更要想清楚在这个竖式中，最上面的部分是表示两个数相乘，中间的部分是表示两次计算的结果相加。如何写，主要解决两次计算结果的书写顺序和第二次计算省略写0时的数位对齐问题。

3.重视直观手段的作用。两位数乘两位数的算理和算法理解，都要借助于直观手段来提供思维支点。上述几个不同的内容的学习，都不同程度地运用了直观手段。这里的直观手段，主要是呈现二维排列的点子图或方格图，二维方式排列利于理解乘法的意义和算理。整十数乘整十数学习时，运用直观图使学生看到在乘的过程中，产生了整百数，从而理解结果是多少个百。两位非整十数乘整十数同样要用到直观图来帮助理解，让学生清楚地看到计算的结果是若干个十。学习一般意义下的两位数乘两位数（两个数都是非整十数）时，用直观图把乘的过程表示出来，学生就能够看出每一步计算的结果。

4.提供多样化的练习提高学生的计算速度和准确率。单纯的笔算是比较枯燥的，容易对学生学习产生负影响。因此必须保持学生对计算的兴趣，只有感觉到计算有意思，学生才会积极参与练习，在潜移默化中提高计算能力。

首先，要进行适量的口算练习。可在学习了两位数乘两数以后，每节课拿出5分钟进行口算练习。开始的时候数量控制在一定范围之内，随着学生口算能力的提高，速度越来越快，逐步增加口算题目的数量，具体数量要根据班级学生的口算水平进行确定。口算题的选择也要先易后难，开始以整十数乘整十数为主，适量添加整十数乘一位数。往后调整为以两位非整十数乘一位数（不进位），适量添加前述两类。最后练习两位非整十数乘整十数（不进位），适量添加前述三类。

其次，竖式笔算练习要以多种形式出现。由易到难可以有如下类型：填数练习，竖式中间部分数字空着，以小方框代替，让学生计算填写，练习的目的是让学生正确地把两步计算的得数准确写在相应的位置；完全的竖式笔算练习；判断对错，把学生容易出现的或者在练习中发现的各种错误出示给学生，让学生判断对错，并提出改错的方法；找规律，一种是一个因数不变，另一个因数分别是10、20、40、80，通过计算发现因数变化的倍数引起积的变化倍数之间的对应关系，二是两个因数都发生变化，一个扩大，一个缩小，如第一个因数分别是6、12、24，另一个因数分别是36、18、9，学生通过计算发现积一直不变，并找到不变的原因是两个因数在作反方向的同倍变化；逆向思维练习，在乘法竖式中，给出最后得数，或者给出最后得数中间两步乘法得数，两个因数的个位或某个因数，让学生运用对乘法竖式的理解来逆向求得原来的两个因数是多少。

练习的类型还有很多，老师可以根据需要选择使用。

5.在具体的情境中运用乘法解决问题，加深学生对乘法意义的理解，体会乘法在生活中的现实存在。运算规模的扩大，学生认识世界的视野也随之拓展，能够通过运算解决难度更大的问题，理解更多的生活现象和社会现象。如生活中和购物有关的计算、级部人数的计算、借阅图书的计算、家庭用水用电的计算等。以前由于计算能力的限制，只能认识一次购物、一种物品、一个班级、一月用水等数目小的生活事件中的数学问题，现在可以把视野扩大了，可以认识多种物品、全校班级人数、一年的用水或用电量等。以班级人数为例，以前学生只能解决这样的问题：一年级8个班，每班有45人，一年级一共有多少人？现在就可以解决这样的问题：红星小学有35个班，平均每班45人，全校共有多少人？

 

（《山东教育》2015年1、2月第1、2期）