关于数学建模的几个问题

一、问题的提出

数学是在人们对现实生活与生产实际应用的需求中产生的，要解决生活与生产实际中的问题就必须建立数学模型。如，数的扩大，产生了二进制、五进制、十进制、十二进制、六十进制等进位制模型；土地测量的需要，产生了各种几何图形的模型等。从此意义上讲，数学建模和数学学科一样有古老的历史，且是数学学科发展的重要支柱。今天，数学以空前的广度和深度向其他科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在正迅速走向定量化、数量化与数字化，这就需要建立大量的数学模型，特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术领域起着十分关键的作用。因此，数学建模被时代赋予更为重要的意义。

数学课程标准的第一页就三次强调了数学的“建模与用模”问题：

1.第一段最后一行：“有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会服务。”

2.第二段倒数第三行：“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”

3.第一页倒数第三行：“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。”

新课标的第一页也是三次强调了数学的工具性：

1.第一段倒数第一行：“进而解决问题，直接为社会创造价值。”

2.第一段倒数第二行：“数学作为一种普遍使用的技术。”

3.第一页倒数第一行：“数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”

值得注意的是，数学的工具性正是体现在数学的用模上。新课程强调过程与活动，但这里的过程与活动均是建模与用模的活动，新课标着重强调的是数学建模的过程和用模的活动。上述几点充分说明了新课标最重视的是数学的建模与用模问题，其他一切，生活化也好、实际问题解决也好、过程与方法也好、活动与思考也好，一切都是为数学的建模与用模服务的。

既然如此，新课程改革开始近十年了，我国的中小学数学教育界为什么对此很少涉及而只强调过程、活动、合作学习和方法多样化呢？原因固然是多方面的，但数学的建模与用模问题毕竟揭露了数学的本质，与现代科技的发展息息相关，也是世界数学教育发展的主流。因此，重视数学建模与用模教育的研究是我国中小学数学甚至大学数学教育不可忽视的一个重大问题。

二、数学建模的内涵　

1.什么是模型

模型是一种科技生产的手段，是随着产品的批量生产而产生的，它代表了科技的发展。自古以来，人们制造瓷器、陶器、铜器、金器、银器等等，都要首先制作各种“模子”。现代的工厂制造工业零部件，也需要事先制作“模子”。这种模子，就是模型。《说文解字》上写道：“模，法也。”中国古代的人们，以材料的不同而区分不同的“模”。“以木曰模，以金曰镕，以土曰型，以竹曰范，皆法也。”即是说“模”“镕”“型”“范”都是用不同的实物材料做的“模子”。模型尽管可以变化，如，方形的可以变化发展为长方形的、椭圆形的、菱形的、组合图形的等，同一形状的可以变为厚的、薄的等，但一种形状的模子一旦固定下来，就是有其专有用途的，是为制造某一类物品服务的，是实物的，是刚性的，是不可改变的，是可以用一定的数学公式或定义描述的。

2.什么是模式

模式是模型概念的一种推广。《辞源》上写道：“模”的意义有三：①模型、规范；②模范、楷式；③模仿、效法。“模型”这一组合词的本义，即是一种用实物做模的方法。但是，在这里这个词的意义已经有所拓展，已有模范、模仿等意义。再到后来，“模型”一词从原来狭义地指实物模型，已发展为包括非实物的形式模型。最先普遍拓展使用的是“数学模型”。把一类实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题，即称为数学模型。再后来就发展、变化为在非实物的形式模型中，除了“数学模型”之外，还有用文字语言描述的“模型”，通常人们不用“模型”而用“模式”。例如，“文化模式”“教育模式”“经济模式”“社会模式”等等。模式是文字叙述的，是描述性的，是不精确与不科学的，只能描述性状而不能揭示其本质。

3.什么是数学模型

通俗地讲，数学模型就是为解决现实生活与生产劳动实际、科技发展与社会发展等一系列问题而建立的一系列数学概念、公式、定义、定理、法则、体系等等。它可以有变式，如，ab+ac=d，可以写成a（b+c）=d,可以根据情景的变化，添加条件，如ab+ac=d，变为ab+ac+e=kd，但它们都是为解决某类问题服务的，一旦确定，就不可更改。

4.什么是模型论

在数学领域里，还有在更为狭义的范围内的“模型”，即是数理逻辑研究领域中的“模型论”。模型论，是研究形式语言及其解释（模型）之间关系的理论，一个形式语言L的解释U称为此语言的一个模型或结构。这是一种从数学到数学的研究，是对数学模型的数学解释。

5.什么是数学建模

“数学建模不是做题，而是干活。”中国科技大学李尚志教授的这句名言一针见血地指出了数学建模的本质特点。准确地说，数学建模就是用数学语言来描述现实现象的过程。这里的现实现象既包括自然现象（如行星运动），也包括社会现象（如商业运作），而描述也不仅仅包括外在形态、内在机制的描述，还包括预测、试验和解释实际现象等内容，也就是实际问题数学化。它是一个过程，是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择过程。它重视、强调了探究的过程。在这一过程中，许多思想、方法、技能与技巧都相对伴生。值得注意的是，数学建模过程，尤其是现代数学建模过程，一般不是一个人完成的，而是群体智慧的结晶，它强调了合作性。比如，现在的大学生数学建模一般都是三人一组完成的。同时，在建模过程中需要尝试各种方法，需要建模策略的多样探试、比较、综合与最优化。

6.什么是数学用模

简单地说就是用数学模型来解决实际问题，而不在于应用了多少数学知识与方法。它最核心的部分就是围绕一类问题建立一个数学模型来模拟实际问题，然后通过研究这个数学模型来解决这个实际问题。这里的数学模型是指用数学语言描述了的实际事物和现象，是实际事物的数学简化。因为人们普遍相信大自然是严格地演化着的，所以为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们就用数学模型来模拟实际现象。建模与用模是一个数学过程，即是生活问题数学化与数学问题生活化的问题。值得注意的是，用模时可以不必了解建模的过程或建模的意义。就像农民用拖拉机耕地一样，他可以不必会制造拖拉机，也不必知道制造拖拉机的原理，会使用、使用好就可以了。也就是说，建模是数学家或科学家们的事，大多数实际工作者会用、用好数学模型就不错了。

7.问题解决与数学建模

问题解决提起于上世纪50年代的美国，流行于70年代的美国、西欧和日本等国家和地区。我国则引进于80年代末，流行于90年代中期。问题解决包含了两部分，一是问题，二是解决。“问题是数学的心脏。”爱因斯坦曾经说过，“提出问题比解决问题更重要。”作为问题解决的核心——问题，有着各种各样的分类方法，但大体上可以分成两类：（1）为了学习、探索数学知识，复习巩固所学内容而主要由教师或教材编写者构作的数学问题，如教科书、复习参考书中的练习题和复习题等。（2）出现于非数学领域，但需用数学工具来解决的问题。如来自日常生活、经济、理化生医等学科中的应用数学问题。（1）类中的问题，往往是已完成数学抽象和加工的“成品”问题。其指向性单一、条件狭窄、开放性较差；（2）类中的问题，往往还是“原坯”形的问题，怎样将它抽象、转化成一个相应数学问题，这本身还是一个问题。当然，两类问题是可能有“交集”的，它们彼此的边界也是模糊的，如可列方程（组）求解的文字应用题的一部分就在这个“交集”中。在问题解决的过程中，上述两类问题在解决思路上是较肤浅的、方法是较单一的。需要说明的是（2）中的问题已有数学模型的雏形，但在中小学教科书中，这类问题涉及的还不多。

数学建模问题的条件更开放、更凌乱，目的性、指向性和策略性更多样，模型的猜想性、可塑性、验证性更强，学生的探索、合作性更强，用模的多样性更强，它的作用对象更侧重于非数学领域中的问题。较之问题解决，数学建模更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程，数学工具、方法和模型的选择、分析过程，模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程，它更完整地表现了学数学和用数学的关系。它给学生再现了一种“微型的科研过程”。

例如：“我们班内最美的同学是谁？”这个问题。要解决这个问题，首先需要找到它的条件：这就是“我们班内”,而“最美的同学”必须有标准。我们知道，人体美学受到种族、社会、个人等方面的影响，牵扯到体型与精神、局部与整体的辩证统一。只有整体和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。人体的美主要有两类：对称美和比例美。而比例美中最重要的是黄金分割美。从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于接近黄金矩形而变化最小。人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史沉淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是，黄金分割律作为一种重要的形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金分割与人体关系时，人们发现了人体结构中有14个“黄金点”，12个“黄金矩形”和两个“黄金指数”（两物件间的比例关系为0.618），这就是“最美的同学”的标准。有了这个条件和标准，我们就可以将人体结构中的“黄金分割点”与自身相对照，通过实际测量每个同学身上的具体数据，用数据说话，来解决“最美的同学”的问题，从而建立本班中最美同学的数学模型。这一过程是动态的、开放的，它对学生的各种能力都提出了很高的要求。

三、数学建模的思维过程

因为数学建模主要是培养学生从现实生活与生产实际中发现数学信息进而建立数学理论的能力，所以，数学建模本身就是一个寻找、分析、建模、计算与验证、修订、应用、总结的完整过程。当我们拿到一些数学建模信息时，首先就是要查找所需的数据，尽量多地把查找数据的工作完成。其次是问题的分类分析：题中所给的条件是非常多或非常少的，要根据建模的要求对这些条件和信息进行加工、分析，并进行归类比较。第三，根据分析对数学模型提出初步假设，同一道题目可以有多个不同的模型假设，但应以尽量准确的模拟实际为标准。第四，提出模型假设后，要通过计算或计算机编程等对模型假设进行验证。第五，验证之后对模型假设进行和修改、定型。第六步是应用模型进行解决问题。最后，进行概括总结，写出研究报告，内容包括模型的改进、模型带来的启发与待解决的问题等等。

上述数学建模过程的思维流程大致如下：

寻找相关信息→提炼有用信息→分类比较→提出模型假设→计算验证→调整定型→用模解决问题→研究报告

四、数学建模的一般研究领域

一般说来，数学模型在现实生活、工农业生产和高科技研究领域中的作用无处不在。综观数学建模的研究，它在如下领域正在热火朝天地开展着：

1.信息产业领域的软件生产过程中；

2.经济问题解决过程中；

3.气象预报中的预报模型与模式；

4.数学建模在各类评价体系中的作用；

5.数学建模在国民素质教育中的作用；

6.数学建模对数学教学改革的重要启示；

7.社会科学的数学化，其核心是建立社会科学中相关学科的数学模型；

8.航空航天及物理、地理、天文学的研究中；

9.医药卫生、生物、化学、农林领域的研究；

10.其他相关行业中。

五、数学建模的历史发展及现状

数学建模研究的发端是在1978年前后，英国工业协会为了生产的需要要求剑桥大学开设一个大学数学建模班，培养学生的数学建模能力。1982年美国开始关注大学生数学建模问题，并于1985年在美国组织首届全美大学生数学建模联赛。之后，每两年举办一次，并逐步发展为世界大学生数学建模联赛。1989年，在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例。

1992年，由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛，74所院校的314个队参加。教育部领导及时发现并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。2009年全国有33个省、市、自治区（包括香港和澳门特区）1137所院校、15046个队（其中甲组12276队、乙组2770队）、45000多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的，其中西藏和澳门是首次参赛。

令人遗憾的是，尽管我国大学生数学建模竞赛开展得如火如荼，尽管数学课程标准早就对数学建模问题提出了强烈的要求，但在中小学阶段进行数学建模研究的还属凤毛麟角，这是一个值得关注的倾向。

五、开展中小学数学建模教学研究的几点建议

1.重读课标，引起思想重视

正如前文所提，数学课程标准在前言部分的第一页就三次提到了数学的建模问题，三次提到了数学的工具性，即用模问题，在不足1000字的文字中6次提到了数学的建模与用模问题，且在课标的第一页。课程标准把数学建模用模问题提到了什么高度还不是显而易见了吗？课程标准的新理念新在什么地方还不是一清二楚了吗？为什么多年来我们的数学教师、数学教研员们一直在过程与方法、一直在数学与思考、一直在算法多样化上下功夫，而独独不提数学建模呢？这是一种舍本逐末的行为，是对新课改、对学生不负责任的行为，现在是回归课程标准的时候了。我们必须静下心来，细心研读数学课程标准，从思想上引起对数学建模的重视。

2.重视建模教学，确立建模的初步原则

在学习数学课程标准，重视数学建模教学研究的同时，要逐步确立数学建模的初步原则。

在小学数学建模的过程中，要切记小学数学姓“小”，不姓“中”，更不姓“大”。要从小学生的年龄特征和心理特点入手，从“小”字上做文章。要让小学生初步感知数学建模的意义，逐步了解数学建模的过程；初步渗透数学建模的思想，逐步知道数学建模的方法。会从简单的现实生活和生产实例中初步抽象出数学模型，并会用数学模型解决一些简单的实际问题。

初中阶段则可以在此基础上做进一步的提高。

3.细研课本，找出建模的立足点

中小学阶段，尤其是小学阶段的数学建模应尽量从平常的数学课堂开始，并以课堂教学为主阵地进行。其实，各种数学课本中都有大量的数学建模素材可供我们选择。如，数1的认识。这是一个最简单的数学模型，但也是一个最复杂的数学模型。1个1个的物体可以抽象出数1，一群一群、一队一队、一排一排的物体也可以抽象出数1，这些1都一样吗？学生们一知半解，大多数老师也是一知半解。要真正建立好这一模型，那可是不容易的。同样，3呢？5呢？=呢？再如，长度单位怎么建立？面积单位、体积单位呢？将课本上的这些知识点寻找出来，仔细研究，你就会发现，它不仅会帮助你搞好数学建模的教学，而且会使你的课堂教学多姿多彩。

4.在课堂以外抓建模

数学建模是开放式的，是需要时间的，因此，它既可以与课堂教学相结合，让学生在课外搜集建模资料，如上统计课前可以让学生到商店或在家里搜集物品种类与数量，准备课堂教学用，也可以成立数学建模兴趣小组，提高学生的数学建模兴趣和能力。

5.用数学的眼光看世界

从中小学数学的角度说，数学建模就是生活问题数学化的过程，而数学的用模就是数学问题生活化的问题，二者相辅相成。这是课程标准着力强调的一点，也是广大老师在教学中着力实践的一点，只是老师们还没有把它上升到建模的意识上而已。“万物皆数”“生活中处处有数学”。要培养学生的数学建模意识与能力，就需要让学生用数学的眼光看世界，让学生时时处处在大自然中发现数学、感悟数学、体味数学、应用数学，这是我们广大数学教育工作者应尽的义务。

中小学数学建模的研究工作还刚刚起步，要研究的问题千头万绪。限于能力，也限于篇幅，本文仅谈以上几点，以期抛砖引玉。

 

（《山东教育》2010年第31期）