立足生活情境 构建数学模型

发布日期 : 2011-01-06点击次数 : 来源 :

 

立足生活情境   构建数学模型
———谈整数四则混合运算的教学

 

“能结合现实素材理解运算顺序”是小学数学课程标准的理念。为此,实验教科书一改原教材的编排体系,而从数学源于生活的角度,结合符合学生生活实际的现实素材逐步引入混合运算。这样编排的好处是:①贴近学生,使抽象的问题变得生动、有趣;②便于学生结合现实问题初步理解混合运算的意义,体会运算顺序;③混合运算与解决两三步计算的实际问题紧密结合,有助于提高学生思维水平和解题能力。然而,新教材这种编排也有弊端,如综合算式的提前出现造成了教师教学的困惑,脱式计算的格式要求形成了教学的空挡,而教材、教参对此只字未提,使教师教学感到无从着手,自行其是。混合运算的运算顺序作为一个数学模型来说并没有在教材中得到很好的体现。为了帮助学生加深对混合运算顺序的理解,应该在规范运算步骤的基础上促进计算能力的提高。数学课程标准指出,数学教学应“从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。而引导学生构建数学模型,应该从学生所熟知的符合其年龄特征的生活情景出发,引导学生通过观察、操作、分析、比较等思维活动,进而逐步内化成自己的认识,从而用数学语言、数学符号概括出来。正如张奠宙教授所说:“数学模型就是那些用数学语言来模拟现实的模型。”因而建立数学模型的过程本身就是一种研究性学习方式。下面是我们教学混合运算的几点做法:

一、教材分析

实验教科书是结合现实素材逐步引入混合运算的。大体可分为三个阶段。一是初步渗透模型阶段,二是形成模型阶段,三是运算定律的建构与应用。第一阶段又分为三个层次。一(上)“6-10的认识和加减法”中安排的“连加”“连减”和“加减混合”便是混合运算的起始内容。这个阶段主要是口算,应结合具体情景,让学生感悟到先算什么,再算什么,其重点是第一步口算得数要“暗记”,使学生明白只有求得第一步计算的得数才能进行第二步计算。第二个层次是二(上)100以内的加法和减法(二)中的“连加,连减和加减混合”。承接上一层次的教学,学生已经有了初步的按顺序计算的意识,只不过由口算变成了笔算,“暗记”的第一步得数需要用竖式表示出来。为了帮助学生更深刻认识连加连减和加减混合运算顺序,教材依然通过生活情境呈现问题及运算顺序,其后结合表内乘法引入的乘加、乘减,仅从呈现顺序上就能看出先算乘法后算加减法,并不是教学两级运算的顺序。第三个层次是二(下)的含有小括号的加减混合运算。为了帮助学生体会小括号的作用,教材通过一道用两种方法解答的实际问题来说明用综合算式列式时,应该使用小括号,“计算时先算小括号里面的”可以从分析题目的数量关系中建立认识。从以上分析可以看出,教材的编排确实体现了数学源于生活,学生比较容易地将生活情境内化为自己的认识。但需要说明的一点是,在这个阶段已经出现了列综合算式解决实际问题,这就给教师教学造成了些许困惑。怎样教学列综合算式,教不教脱式计算的格式和步骤?幸亏第59页的例4道出了脱式步骤及解法,真是“千呼万唤始出来”。

混合运算教学的第二阶段在四(下)。教材通过四个例题的问题解决,帮助学生建立整数四则混合运算的运算顺序这一数学模型。由于学生在一、二年级已具备了很多感性认识,且能够初步掌握含有加减两步计算及含有小括号的混合运算式题的计算步骤,只不过还没有把这些认识上升为理性认识,即还未形成运算法则这一数学模型,因此,这部分教材主要是引导学生借助已有的知识经验,在解决问题的过程中,归纳概括出混合运算顺序,形成数学模型,并利用数学模型进行计算。

整数四则混合运算的第三个阶段是研究五大运算定律并进行简便运算。五大运算定律也是数学模型,它是运算体系中最有普遍意义的规律。同时,随着数的范围的进一步扩展,这五个运算定律也会进一步应用到后继知识的学习中。鉴于学生在前面的数学学习中已经接触到了一些实际例子,因此,这一阶段的任务主要是引导学生从现实的问题情境中抽象概括出运算定律(建模),并进行简便运算(用模)。

二、创设现实情境,初步渗透“模型”意识

如前所述,学生在低年级学习混合运算主要是学习从左到右依次计算的连加、连减和加减混合的运算顺序,初步了解小括号的作用。前者渗透的数学模型就是在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,按照从左到右的顺序进行计算。后者所渗透的数学模型就是在有小括号的算式里,要先算小括号里面的。为了帮助学生更好地理解和掌握这些内容,教材提供了丰富的生活情境,旨在于激发学生的学习兴趣,唤起学生的知识储备,利用现实的素材建立认识。教学中应切实把握好教材的这一编排特点,让学生结合现实素材进行分析、思考,从而架起生活情境与运算顺序之间的桥梁,也就是说,在低年级要注意渗透“模型”意识,为四年级的建构四则混合运算顺序的数学模型做好准备。

例如,一(上)的连加、连减和加减混合运算属于口算内容,但又是两步式题,分两步进行口算才能算出结果,特别是第二步计算要用到第一步计算算出的得数,而学生则由于思维的定势,往往容易忘掉第一步的得数或由于看不见第一步的得数而造成第二步计算的困难。为此,教材呈现了现实素材,用生动的动态情境反映出计算时应该先算什么,初步渗透了同级运算从左到右的顺序。此外,教材在算式中用“线”标明先算什么,并注上第一步计算算出的得数,从而帮助学生克服前面所提到的计算障碍。

为了使学生更好地掌握运算顺序,教学“连加”时可用动态的图画呈现第72页的“连加”题目,使学生通过观察,直观看到5只小鸡、2只小鸡和1只小鸡的呈现顺序,列出算式后进而理解连加算式的意义,初步体会到先算什么再算什么,接着用课件显示第一步计算的得数“7”,使学生进一步认识到第二步计算是用7来加1。再让学生试着说一下5+2+1的计算过程后再出几幅类似的动态画面巩固这一认识,并引导学生结合这几道题说一说连加计算应该怎么办。

“连减”的教学过程基本和连加相同,只不过学生有了连加的基础,教学中注意引导学生进行知识迁移,即在呈现动态画面并列出算式后,让学生自己说一说,先算什么再算什么,重点放在第二步计算为什么用62上。

“加减混合”呈现了2幅情景,与连加、连减相比,不同点是含有加减两种运算,相同点是依然从左到右计算,但正因为是两种运算,动态情境的出现就更有必要,一方面能克服先加后减的潜在错误意识,另一方面可与连加、连减结合起来,达到结合动态情景构建数学模型的目的。为此,可在练习中用课件展示不同的加减混合的现实素材,让学生列式,让学生说顺序,让学生说每一步计算的结果,这样不仅可以使学生掌握运算顺序,还可以提高学生的口算能力。

此外,要切实搞好综合训练。一是进行连加、连减和加减混合的综合练习。二是要进行专项训练,如说一说第一步先算什么,或直接说出第二步要算几加(减)几及这样算的理由。三是要注意引导学生发现、归纳连加、连减和加减混合的运算顺序,渗透模型意识。

三、扬长避短,优化教学内容

认真研究一下教材,不难看出教材关于整数四则混合运算有几个地方值得商榷。一是出现综合算式过早,而教材又迟迟不提脱式计算;二是脱式计算教学支离破碎;三是带有小括号的两步计算显得薄弱。为此,我们在教学中一方面注意渗透建模、用模思想,一方面在尊重教材编写意图的前提下对教材做了适当的整合,取其长,避其短,收到了较好的效果。我们的做法是:

1.二(下)的解决问题单元,是在学生学会计算两步式题的基础上编排的。从“解决问题”的角度来看,这一单元主要学习两步计算的解决问题,显然,数量关系分析是十分重要的,让学生掌握思维的起点,确定思维的方向,培养学生展开有序的分析是开始学习两步计算解决问题的重要任务,根据学生的年龄特征和已有知识积累,分步解答更容易体现思维的有序,匆匆出现综合算式有些操之过急,而再加上小括号的作用与使用,无疑给学生增加了很多困难。为此,我们将解决问题单元与第59页例4的脱式计算部分甚至于四(下)的有关知识做了整合,并增加了两课时内容。教学例1时以引导学生展开有序的分析为主线,让学生在学习小组内结合情境图体会事情发展顺序,并根据题目里所反映的两个条件提出一个需要解决的问题;在列出算式求解后接着想第二步运算,并明白第二步计算的意义;然后再总结本题的分析思路与解答过程,强化提问题的意识,并承接前面的“加减混合”教学,让学生列出综合算式,并结合综合算式说一说先算什么再算什么。在此基础上,教学脱式计算方法,帮助学生建立“脱式计算”的教学模型。

2有两种解题思路,属于“一题多解”。教学例2时可引导学生通过生活情境体会解决问题的思路,得到两种解题方法。根据学生的年龄特征,学生往往是从条件入手进行思考的。题目里给出了3个条件,根据前两个条件可以求出买了22个面包后还剩多少个,再求出最后还剩多少个;根据后面两个条件可以先求出一共买走多少个,再求出还剩多少个。从不同角度引发的思考,开拓了学生的思维空间。此后再根据第一种思路列出连减算式,并用上节课所学到的脱式步骤进行计算。根据第二种思路列综合算式是例2的又一个教学重点。让学生认识括号,了解小括号的作用必须结合分步列式。第二种思路是先算一共买走多少个,再算还剩多少个。那么列成综合算式也应该符合这一顺序。然而,怎样才能清楚地反映出这一顺序呢?学生大胆想象,大胆猜测,形成不同想法,如54-8+2254-8+22)等,前者用下面的横线标明先算的部分,后者用()标明先算的部分。教师此时介绍小括号便水到渠成,而小括号的作用也无须多费口舌,直接让学生脱式计算即可。此后,为了达到构建模型的目的,可以再出几道带小括号的试题,让学生说一说先算什么再算什么,以加深学生对这类题目运算顺序的认识。

59页例4是乘除两步计算问题,思维方法及列式解答均可通过知识迁移解决,但对于乘除混合运算顺序则需要结合生活素材进行理解。乘除属于同级运算,乘除两步计算包含两种情况,要么先乘后除,要么先除后乘。列出综合算式需要理解题意,明确题目中所蕴涵的条件与条件、条件与问题间的数量关系。一旦学生理清了脉络,便可以列出综合算式,并掌握了运算顺序,从而也渗透了既有乘法又有除法的两步算式题,按从左到右的顺序进行计算这一数学模型。可见用课件呈现这种实际问题十分必要。

四、在整理中构建和深化混合运算数学模型

四(上)四则运算主要教学并梳理混合运算的顺序。建立四则运算的数学模型过程就是学生从已有的生活经验出发,充分运用观察、实验、分析、概括等思维方式,将实际问题抽象出来并解释与应用的过程。数学模型一般是用数学语言或数学符号来呈现的。在之前的教学中,学生已经对混合运算的数学模型有了不少了解,形成了一定认识,并且已经能够运用数学模型进行整数四则混合运算,但尚不系统,用数学语言描述不够简练概括,从而构成了四(上)的四则运算教学的重要任务。因此可以说,四(上)的四则运算教学应落脚于梳理知识,使分散在各册各部分内容的有关知识成为一个整体,从而实现“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”,提高学生的综合概括能力和计算能力。

四(上)的四则运算顺序的梳理是结合解决问题进行的。教学这部分内容有两个主要任务。一是让学生在解决问题的过程中,进一步掌握分析问题的策略和方法。为达此目的,教学中应侧重于分析,引导学生从不同角度进行思考,既可以由条件入手逐步分析进行正思考,又可以由问题入手展开分析进行逆思考,还可以兼顾正逆两种思考路线进行灵活分析,目的只有一个,寻找到一条简捷正确的解题思路。本单元是整数及其运算的最后阶段,问题解决的范围也随之增大,强化数量关系分析是十分有必要的。第二个任务就是梳理四则运算的顺序,例1是加减混合运算,例2是乘除混合运算,它们均属于同级运算,例3与例4是含两级运算的三步计算式题,但从计算合理的角度看可用两步解答,例5是含有小括号的三步计算式题。这部分内容实质上是整数四则混合运算的概括与总结。5道例题各有侧重,例1、例2与例5还都有一定的知识储备,显然例3、例4的混合运算顺序是教学重点。

1、例2的教学应把握两点,一是搞好数量关系分析,让学生通过有序的思考,逐步达到举一反三;二是概括加减混合或乘除混合运算顺序,并用语言表达出来。

3、例4的教学应把握三点:首先是搞好数量关系分析,找到隐蔽条件并列出分步算式;二是引导学生将分步算式合并成综合算式,主要解决积商之和的问题。一旦布列了综合算式,便可以引导学生结合前面的分析和分步计算过程,知道先算乘除法,后算加法了。此时,教师应刻意说明,对于24×2+24÷2来说,乘除是同一级运算,因此,脱式计算时,应同时计算24×2的积与24÷2的商。由于含有两级运算的题目进行脱式计算,学生尚属初次遇到,仅凭这一道题目便让学生概括出数学模型是不现实的,故此时宜趁热打铁,连续出几道含有两级运算且带有生活情境的题目让学生说一说先算什么再算什么,列出综合算式后再引导学生发现运算顺序,并概括出数学模型。

3实质上是对混合运算顺序的梳理,两道小题中,参与运算的数,排列顺序及运算符号都相同,但计算结果却不相同,其根本原因是(1)小题里出现了小括号,部分改变了运算顺序。由此可以促使学生认识到小括号的作用以及运算顺序的重要性。可见,这两个小题仅是个引子,目的在于对混合运算顺序进行整理。显然,整理知识最好以合作学习的形式出现,让大家群策群力,通过对前面所学知识的回顾与思考,通过在计算过程中的应用与发现,总结出四则混合运算的顺序,成功构建出数学模型。

五、在观察比较中概括运算定律

前面所提到的混合运算顺序作为数学模型,是学生由具体形象的现实生活情境,通过分析、比较、联想、验证、综合、概括等一系列思维活动逐步形成的形式化数学语言。而五大运算定律同样如此,只不过其模型的呈现较之运算顺序更为抽象更为简练,即可以用数学符号或字母表示。因而教学运算定律的关键就是让学生在大量的素材信息中,通过观察整理发现它们的共性,及时进行数学抽象活动,再用形式化的数学语言表述之后,进而用数学符号表示。

加法的交换律、乘法的交换律作为两个概念,学生可能会感到陌生,但早在一、二年级学生就已经通过一图二式和乘法口诀的学习,了解了它的“形”。只不过由于年龄小等原因,尚未形成模型。因而教学时除了像例题那样提供生活情境外,还需通过几个类似的例子让学生在分析解决问题的过程中发现,尽管列出的算式加数(因数)的位置发生了变化,但和(积)却没有变化,因而这两个算式可以用等号连接起来。接着可以让学生认真观察这一系列等式的左右部分,从而发现“两个加(因)数变换位置,和(积)不变”这一规律,这实际上已正确构建了数学模型,不过还可以使其更为抽象,表示更为简练。学生在知识生成的过程中产生了很多好的想法,也就是形式化语言模型转化为符号模型、字母模型等,学生经过对比,a+b=b+aa×b=b×a得到了大家的认可。

加法的结合律和乘法的结合律对于学生来说相对陌生,但并非没有一点接触。以前的混合运算中,学生可能从速算的角度有些许的尝试,只不过没有形成规模。就其教学来说,依然像交换律那样,提供给学生丰富的生活情境,让学生在计算中发现不管是先把前面两个数相加(乘),还是先把后面两个数相加(乘),和(积)不变。在此,观察、分析、比较、发现是十分重要的教学环节。学生一旦发现了上述规律,又有了用字母表示交换律的基础,再用字母、符号表示出来,就不会感到多大困难了。

乘法分配律的建模可能难一些,这是因为缺乏像交换律、结合律那样的生活素材。一般来说,教学时依然是由解决问题引入。两种不同的思路产生不同的综合算式,用不同方法计算出相同结果,初步认识乘法分配律。为了使结论更具有可靠性、普遍性,前面的实例最好到根据两种思路列出的算式相等为止,而不急于对这两个算式进行对比分析。接下来的任务是用几组类似的试题,让学生计算,使学生意识到这样几组表示两个算式相同的等式都有共性,此后再引导学生对比分析,从而帮助学生发现规律,概括出乘法分配律,并用字母表示出来。

通过在整数四则混合运算教学中,立足生活情境,狠抓知识迁移、构建数学模型的实验和操作。我们深刻认识到,建构数学模型过程的本质就是数学思维的活动,所以建模的过程离不开思维方法。分析与综合、比较与分类、抽象与概括、猜想与验证等思维方法都是建构数学模型的重要方法。当然,这些思维方法往往是综合运用的。可见,数学模型的一个很重要的价值体现就是建模,而建模的目的则是用以解决实际问题。此外,需要说明的一点是,小学数学建模教学并非每次都要经过一个完整的建模过程,也就是说,有些数学建模并不能一次完成。像混合运算法则这一数学模型就经历了渗透模型意识、初步形成模型和形成完善模型三个阶段。

 

(《山东教育》2010年第34期)