基于建模教学 厚实数学素养

山东省诸城市密州路学校   张新喜   王甫森

 

数学素养是学生在数学学习的过程中逐渐形成的，是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力和思维品质。

作为小学生应达成的数学核心素养的建模，从字面上看是建立数学模型，却常被误作为”计划解题方案”。随机调查发现，数学模型被普遍认可为数学结构；对数学概念是否是数学模型，存在不同的观点：（1）数学概念不是数学模型。因概念及概念间关系是结构化。（2）数学概念是数学模型。因建模是一个由实际问题抽象出数学模型的过程。抽象出来的概念可以叫作数学模型。由此，狭隘地讲，数学模型是由文字、符号、图形建立起来的等式、不等式、图表、框图等数学结构表达式；广义地说，数学概念、命题、思想方法统称数学模型。

《义务教育数学课程标准（2011版）》数学模型是用数学符号表示的数量关系和规律。数学结构表达式描述数量关系，数学概念是固化的模型，数学命题、思想方法的本质是规律。相对而言，《课标》数学模型概念更简明、精确、易懂。

基于数学模型的意义，小学数学课堂中教师预设情景、引发问题，与学生合作抽象概念、概括规律、归纳方法、应用拓展、回顾反思、创新实践的认知活动是建模教学，概括成四项活动：设模、构模、扩模、用模。例如，依托蕴含等量关系的问题情景，师生合建方程的符号形式、文字概念、思想方法及其应用延展的过程是建模教学；师生抽象线段、射线、直线概念的过程也是建模教学。

一、设模   提高问题意识

设模指创设数学问题模型。数学模型是对问题模型的假设、推理、演绎、抽象、概括、应用和优化的数量关系和规律。问题模型是以学生已有经验为基础的蕴涵数学问题的现实生活、生产实例的情境。问题情境具备趣味性、实践性和延展性，为学生提高问题意识、积累创新基础而服务。教师应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，促使学生不断提高发现问题和提出问题的能力，分析问题和解决问题能力。

1.趣味性

课改之后，问题情境的趣味性逐渐被教师常态化地应用于课堂。例如，“认识方程”情境：教师与学生猜数字的游戏：猜爸爸的年龄、猜爸爸存折里的钱、猜台下听课教师的人数，让学生一下子明白了什么是未知数。通过“已知数与未知数的比较”，让学生自己顿悟：“如果遇到未知数，可以通过探索，使它变成已知数。”让学生在猜教师的年龄时，依据不同的数学信息，比较、筛选、揣摩、逼近方程雏形。趣味性的问题情景引发学生情绪昂扬，瞬时进入角色，踊跃发现问题和提出问题，形成问题意识，厚实创新基础。数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，引发学生数学思考，鼓励学生创新。

现实教学中，部分教师因未真正理解兴趣的本质、外延及其效用。为活跃课堂气氛，呈现给学生的教学情境：动漫穿插、声像交替、内容杂乱、色彩斑斓。那些直观刺激虽剧烈，固然起到“激活”过程性兴趣的效应，对探究过程有短暂的促进作用。但随着教学的深入、难度的增加、元认知的失控会隐退。因缺求知欲的驱使、思维性的探险、批判性的质疑，过程性兴趣吸引着学生的猎奇心，却难摄入思维，难成为思维的素材，难真正激活需要和情感。此时，学生思维按部就班，探究活动有形无实，课堂教学“高趣低效”，尤其是严重地抑制结果性兴趣的产生。

因此，教师应着力预设有目的、有价值、有需求的问题情境，启发学生产生持久、定向且稳定的结果性兴趣，把问题探究当作一件舒心的事，形成最佳效益。合理的趣味性问题情境需要过程性与结果性兴趣二者兼顾、相互转化、相互作用，激励学生分析信息、理性思考、提出问题、找准关键、变式条件、尝试方法、验证猜想、落实方案、回顾优化、积累经验、享受过程、提升能力。

2.实践性

兴趣是积极探究某项事物或进行某种活动的倾向。这种倾向是在社会实践中发生、发展起来的。兴趣基于实践，实践蕴含兴趣。在教学中，让学生在具体情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法解决简单实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

例如，教学“比”的情境：为星期天郊游，教师带学生到市场，买些鸡蛋，卖鸡蛋大叔称教师的塑料桶说：两斤。他称好鸡蛋说：12斤，去皮正好10斤。因塑料桶实际重量是1.8斤，教师笑着对卖蛋大叔说，是9斤吧！卖蛋大叔没有争辩说，9斤就9斤，算我送给孩子们1斤！事后，孩子问教师是怎么确定少1斤鸡蛋，教师笑着说：“明天，学完比例，你们就知道了。”孩子的学习动机被激到愤悱之境，因都想明白为什么教师知道买的鸡蛋是9斤而不是10斤，没被大叔糊弄！合作认知比、比例后，教师呈现：实际重量1.8斤的塑料桶在秤上显示2斤，某物体在该秤上显示10斤，求该物体实际重量是多少斤？孩子们很快得出了准确答案。这节课效益特好，因学生亲身参与教师设计的教学实践活动，在数学思考、问题解决和情感态度方面得到充分的满足。

3.拓展性

在关注现实情境的生活化、趣味性、实践性的基础上，更要重视情境的生长性、延伸性、发展性，就同一问题情境提出梯度性、变式性、开放性的问题。例如，有教师在教学三年级的笔算除法例1时，首先师生交流“3.12植树节”，然后用屏幕呈现修改后的教材情景图（42棵改成40棵）。趣味性、实践性的生活情境有效激发了学生参与问题解决的动机。学生踊跃提出：三年级平均每班种多少棵树？列出算式“40÷2”，并愉快解决：40÷2=20（棵）。随后，教师说，三年级还需要再种2棵，现在平均每班应该植多少棵树呢？

生1：只要把算式中的40改成42就行了。

生2：刚才平均每个班级种20棵树，现在再把增加的2棵平均分一下，每个班级分到1棵，所以每个班应该一共种21棵。

拓展性问题情境让学生顺势而为、提出问题、生长思考，深化认知，体现教师的引导、组织和评价作用，教学不再机械、表面、无味，而是活跃、灵动、发展的趣味性活动。

二、构模   培养探究能力

数学建模是用数学语言描述现实现象的过程，是一个经历观察、分析、抽象、假设、验证、概括、优化、应用的探究过程。小学阶段是否开展数学建模教学，培养学生的建模能力？调查访问，结果存在异议：（1）建模是大学高等数学策略，小学内容简单，没有必要推行小学建模教学；（2）建模是程序化的东西，倡导建模教学，会固化小学生思维，阻碍小学生思维敏捷性、开放性、创新性的发展。建模教学在小学不易开早。（3）轻数学建模，重过程与方法、数学与思考、算法多样性的教学。实质上，数学建模、概括抽象、逻辑推理、直观现象、运算应用、分析归纳既有独立性，又相互交融，是一个有机整体。偏重、淡化某个内容的教学都是狭隘的，妨碍学生核心素养的发展。

例如，“重叠问题”片段：创设生活原型   感知数学模型。（事先让一名学生站在讲台前)

师：这位同学，他在一列放学队伍中，从前面数是第5个，从后面数也是第5个。

生：这支队伍一共多少人？

教师从学生熟悉的排队重叠问题出发，学生易思考、猜想、验证。有的画图、有的数数、有的列式计算。学生在解决问题过程中感性认知重叠。事实证明，选用学生身边熟悉的生活原型解释数学模型，对学生建立、理解、应用数学模型有成就感。

小学数学建模姓“小”，不姓“中和大”。建模教学，应从小学生已有经验的现实生活、生产实例情境出发，让小学生提出数学问题，经历建模的过程和方法、感悟数学建模思想，感知数学建模的意义，并会用来解决一些简单的实际问题，培养学生的问题意识、实践和创新能力。

三、拓模   发展创新能力

拓模：保持原有基本模型性质不变，某些特征发生改变的模型。例如“位置的表示方法”，由生活原型3列，6行确定位置，建立有序实数对（3，6）确定点，再扩建（6，y）确定y轴，进一步扩展（x，y）确定平面。

教师在数学知识的教学中，要注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部与整体的关系，引导学生感受数学整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。

四、用模   提升应用能力

用模就是用数学模型解决实际问题。数学的工具性体现在用模上。课标强调数学的工具性：数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学作为一种普遍使用的技术；进而解决问题，直接为社会创造价值。建模与用模都是课标着重强调的问题。二者相辅相成，建模是为用模，用模是对建模的巩固和深化。

建模与用模二者实质是生活问题数学化与数学问题生活化的关系，即让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

在“用模”的过程中，教师应引导学生采取对比与分析方式，剔除非本质，提取真本质，多层面、多角度的立体解释和灵活应用，并在此基础上，真正体会模型思想及其应用的价值。坚决避免学生把“数学模型”变成一成不变的“解题模式”，甚至是“解题模板”，导致学生的数学学习沦落为套用现成的“模板”解题。

比如可以用下列一组题目引导学生对比与分析：

1.小华和小成同时从各自家中出发，在同一条路上相向而行，3分钟后相遇，小华每分钟走60米，小成每分钟走90米，两家相距多少米？

2.小华和小成同时从学校出发，在同一条路上背向而行，3分钟后同时到家，小华每分钟走60米，小成每分钟走90米，两家相距多少米？

3.小华和小成同时从各自家中出发，在同一条路上同向而行，3分钟后小成追上小华，小华每分钟走60米，小成每分钟走90米，两家相距多少米？

4.小华和小成同时从学校出发，在同一条路上同向而行，小华每分钟走60米，小成每分钟走90米，3分钟后两人相距多少米？

这4道题目均属于“行程问题”，通过对比与分析，使学生深入理解两个物体在相同时间内所行进的相对路程与其速度之间的本质数量关系，其中相对的运动方向是决定两者之间相对路程的关键因素：1、2两题中，在异向而行、时间相同的条件下，“路程”成为“路程和”，而“速度”成为“速度和”，则其解决问题的数学模型可以统一为：路程和=速度和×时间；与之相反，3、4两题中，在同向而行、时间相同的条件下，“路程”成为“路程差”，而“速度”成为“速度差”，则其解决问题的数学模型可以统一为：路程差=速度差×时间。而无论是“路程和”与“路程差”，还是“速度和”与“速度差”，其本质都是“路程”与“速度”在不同条件下的变式，行程、工程等许多相关问题，就其数量关系本质而言，都可被融会贯通于路程=速度×时间（S=vt）这一数学模型之中，就其解决思路和方法皆是这一基本的数学模型的灵活运用与拓展延伸。

无论是“建模”还是“用模”，教师都应该以高观点，引导和帮助学生拓展、深化知识之间的联系与沟通，在逐步挖掘、拓宽对数学本质内涵的理解过程中，有效避免学生解题思路套路化、模式化，促进和提高学生数学思维、能力及素养。

 

（《山东教育》2017年5月第13期）