不变量思维在小学数学教学中的应用探索

学科教研来源:查看次数:11发布日期:2025-06-24

□ 山东省鄄城县实验小学   杨   华

   小学数学作为基础教育的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维、抽象思维和创新能力具有重要意义。在实际教学中，我们发现许多学生在学习过程中遇到各种复杂问题时常感到束手无策。其实，许多看似复杂多变的问题中隐藏着一些始终不变的核心要素，我们称之为“不变量”。不变量是数学中的一个核心概念，在小学数学中应用广泛，表现在数学概念、单位换算、解决实际问题等多个方面。

一、应用不变量思维感悟数学概念的本质

   不变量思维在数学中扮演着揭示概念及规律的关键角色，它能帮助学生摒弃一些非本质的属性，从中抓住关键、本质的属性，是学生数学学习中不可缺少的思维过程。在人教版三年级上册第五单元《倍的认识》一单元中，教师可以创设多层次教学情境，让学生在情境中慢慢感悟不变量，逐步将不变量思维融入对“倍”的理解中，深化对“倍”这一概念的认识。

  第一层次，创设情境，引入对“倍”的初步认识。利用课件动态展示：秋天到了，兔妈妈领着小白兔、小灰兔和小黑兔去果园里摘苹果。最后，小白兔只摘了2个苹果，小灰兔摘了6个苹果，小黑兔摘了12个苹果，比一比谁摘的最多？多了多少？引导学生把2个苹果当成一份，那么3只小兔分别摘了1份（1个2）、3份（3个2）和6份（6个2），顺势引导学生总结出：这样我们就可以说，小灰兔摘的苹果数量是小白兔摘的苹果数量的3倍，小黑兔摘的苹果数量是小白兔摘的苹果数量的6倍。
  第二层次，改变情境，“标准量不变，变化比较量”。小白兔依然只摘了2个苹果，小灰兔摘了4个苹果，小黑兔摘了8个苹果，引导学生用画圆圈的方法找到小灰兔、小黑兔与小白兔摘的苹果数量之间的倍数关系，从而加深对“倍”的理解。
  第三层次，继续改变情境，“比较量不变，变化标准量”。小白兔摘了3个苹果，小灰兔摘了6个苹果，小黑兔摘了12个苹果。学生很快就发现，标准量变了，标准量是几，就几个几个地画圆圈，有几个圈就代表是标准量的几倍。
  第四层次，构建数学模型，深入理解“倍”的概念。教师展示三个图形，每个图形都有两行圆。第一幅图，第一行2个圆，第二行12个圆；第二幅图，第一行3个圆，第二行12个圆；第三幅图，第一行4个圆，第二行12个圆。顺势提出问题：每幅图中第二行分别是第一行的几倍？在比较过程中学生发现，第二行圆的个数虽然一定，但第二行是第一行的倍数却不一定。要知道第二行是第一行的几倍，只要把第一行看成一份，第二行有这样的几份就可以说第二行是第一行的几倍。

  上述教学过程从浅到深，通过改变量的大小，引导学生寻找量的倍数关系。在不断的变化中建构“不变量”思想，“倍”的模型也在学生头脑中悄然形成。在“倍的认识”中，不变量的思想是“只要把标准量看成一份，比较量中有这样的几份，比较量就是标准量的几倍”。

二、应用不变量思维揭示度量单位之间的关系

   数学的本质不在于它的对象，而在于它们之间的关系。不变量正是这些关系的体现，通过不变量，学生能更深刻地理解数学对象之间的关系。在人教版二年级下册第八单元《克与千克》的教学中，教师可结合现实素材，让学生认识克、千克并感受它们之间的关系，逐渐将不变量思维融入度量单位换算，发展学生的量感和推理意识。

  第一层次，出示各种情境图，让学生找一找生活中的“克”“千克”，初步感知度量单位。学生通过掂一掂、估一估、称一称等操作活动，深化对“克”的认识，逐步实现度量单位“克”的累加，引出千克这一度量单位，并提出克和千克之间有什么关系。
  第二层次，课件出示一瓶500克的洗衣液和一箱1千克的苹果的情境，提出问题：如果在天平右边的托盘放入1千克的苹果，要想保持天平平衡，应该在天平左边的托盘放入几瓶500克的洗衣液？学生通过实际操作、猜想、验证，发现天平左边的托盘放2瓶500克的洗衣液，天平保持平衡。接着操作验证，如果是200克的洗衣液应该放几瓶？100克的洗衣液呢？通过以上活动得出结论，1千克=1000克。
  第三层次，把克与千克相互转换。课件出示2000克=（    ）千克，5000克=（    ）千克，8千克=（     ）克，通过拓展练习，进一步巩固学生对克和千克之间关系的认识。

  在上述教学过程中，我们以1千克的苹果质量为不变量，500克、200克和100克的洗衣液质量为变量进行比较，总结出“1千克=1000克”这个结论，接着通过拓展练习让学生体会到等号两边“克”“千克”的等量关系，发现它们虽然表现形式有所不同，但本质是相同的，代表的量始终不变。这种对不变量思想的运用，是掌握单位换算的基础，也是其灵魂所在。

三、应用不变量思维寻找解决问题的钥匙

  数学来源于生活，也要应用于生活，生活中的数学问题千变万化，但在这些变化的问题中总有不变的量，这些不变量就是解决问题的关键。分数应用题一直以来就是高年级学段的重点、难点，也是易错点，尤其是比和分数同时出现时，部分学生更感到无从下手。根据学生的实际情况，可以结合具体的生活情境设计具备典型意义的题目。

   第一层次，部分量变，总量不变。课件出示：甲、乙两个粮库原存粮的质量比是5∶7，如果从乙粮库调6吨到甲粮库，甲粮库存粮的吨数就是乙粮库的，问：原来甲、乙两个粮库一共存粮多少吨？（1）分析题目：引导学生理解从乙粮库调6吨到甲粮库，甲、乙粮库的存粮如何变化？哪个量没有变化？解决这个问题的核心是抓住什么？（2）通过小组合作交流总结出：甲粮库的存粮和乙粮库的存粮都在变化，但是甲、乙两个粮库的存粮总量是不变的，于是紧抓“存粮总量不变”这一核心，把存粮总量看成“单位1”，则原来乙粮库的存粮质量占存粮总量的，现在乙粮库的存粮质量占存粮总量的，故6吨粮食对应的分率为（－），可以列式子6÷（－）求出“单位1”，也就是总存粮的质量。
   第二层次，部分量不变，总量变。课件出示：甲、乙两个粮库原有粮食的质量比是5∶4，甲粮库运走 36吨后，甲、乙两个粮库的粮食质量比是3∶4，问：乙粮库有多少吨粮食？（1）分析题目后回答：甲粮库运走了36吨粮食，哪个量没有变化？解决这个问题的核心是抓住哪个不变量？（2）甲粮库的存粮质量在变，乙粮库的存粮质量不变。抓住“乙粮库存粮质量不变”这一核心，将乙粮库的存粮质量看作“单位1”，原来甲粮库的存粮质量是乙粮库存粮质量的，现在甲粮库的存粮质量是乙粮库存粮质量的，故36吨粮食对应的分率为（－），用36÷（－）求出“单位1”，也就是乙粮库存粮的质量。
   第三层次，相差量不变。课件出示：甲、乙两件毛衣的定价比是5∶7，两件毛衣都降价60元出售，甲、乙两件毛衣的售价比是7∶11，甲、乙两件毛衣的定价各是多少元？以上面两题积累的知识经验为基础，放手让学生以价格差不变为要点自主探究，     培养学生分析问题、解决问题的能力。
  上面三类典型题目，虽然每个问题中都有多个量在变，但只要紧抓不变量，巧设题目中的单位“1”，把其他分率统一转化为同一个单位“1”，求出单位“1”的量，就找到了解决问题的钥匙。
不变量是小学数学学习中的关键思维工具，通过理解和利用不变量，学生可以更好地把握问题的本质，从而找到解决问题的关键。在教学过程中，教师应注重培养学生的不变量思维，帮助他们更好地理解数学概念，提高他们解决数学问题的能力。