三种核心模型的构建

淄博市临淄区实验小学   张国华

 

所谓核心模型，是指在小学数学众多的建模点中，存在几个重要的模型，这些模型贯穿于小学数学的整个结构，完成这些模型的构建，将会为学生理解小学数学的核心概念，奠定厚实的基础。能培养学生的思维能力，提高学生解决问题的能力。

第一种核心模型是“十进制模型”

“十进制”是很重要的数学思想，是使学生完成由量到数的重要提升过程。在小学阶段，“十进制模型”的最终成果是有计数器、数位表。由于小学生生理发展的特点，在学习过程中，存在很多直观的表现形式，有捆小棒、点子图、方格图、方块图、珠子图，属于成果模型的前模型形态，是形成十进制模型的必不可少的发展形态，正是由于这些前模型形态的支撑，学生才能准确而深刻地形成“十进制模型”结构。

学生在刚刚学习十进制模型的时候，最初是从实物开始。如通过一个一个地数实物，体会到从1个一到1个十的累加过程，体会到计数单位的增加造成了数的增大。从1到10是进制模型的第一个重要里程碑，学生通过捆小棒、拨珠子等，经历把10个一变成1个十的过程，完成一初步的抽象。之后，十而百，百而千，千而万，计数单位的体系在不断扩大。学生用各种形象的模型学习这些计数单位，建立个、十、百、千、万等计数单位的概念以及这些计数单位之间的联系，在这样的基础上，运用计数器和数位表这种形象的方法，把“十进制”基本思想表达出来，理解位值制。

十进制模型完成后，也能帮助学生学习小数概念，把小数纳入到十进制体系中来。在学习小数的时候，给学生提供各种各样的直观模型，如用元、角、分知识学习小数，用米、分米、厘米知识学习小数，其实都是在运用十进制思想。在这个基础之上，把小数的认识由量抽象到数，让学生理解把任意一个图形十等分，就可以表示小数。继而将整数学习中形成的计数单位表和数位表进行扩展，形成完整的十进制数位表。

十进制模型在理解算理、总结算法、提升计算能力方面，起到了至关重要的作用。在学习计算的过程中，引导学生运用直观模型理解算理，如在学习百以内计算的时候用捆小棒模型和珠子图，在学习万以内数计算的时候使用方块图，在学习多位数乘法计算的时候使用点子图等，都是在运用不同形式的十进制模型。

第二种核心模型是“整体与部分模型”

小学生在学习数量关系的最初阶段，是从“把两个部分合起来”开始的，如：原来有5只蝴蝶，又飞来3只蝴蝶，一共有几只蝴蝶？在这个例子中，“5只蝴蝶”和“3只蝴蝶”是两个部分，“一共有几只蝴蝶”是整体，解答的方法就是把两个部分合成一个整体，对应的运算方法就是加法，运算指向是求和。与之相反的是，把一个整体分成两个部分，如：原来有8只蝴蝶，飞走了3只，还有几只？这是把整体分成两个部分的过程，对应的运算方式是减法，运算指向是求差。

“整体与部分”作为核心模型，包括两个命题，整体与部分的关系，部分与部分的关系。整体与部分的关系可以看成是分与合、包含与被包含的关系，部分与部分的关系可以看成是并列关系、互补关系等，在以后的学习中起着重要的基础作用。如对于理解各种形式的“求和”“求差”问题，集合思想中的各种概念，函数思想中的变量关系，提供模型支持。在数与代数、图形成几何、统计与概率、综合与实践四个领域的学习中，都是以“整体与部分”作为基本的数量关系形式，很多复杂问题都可以还原为“整体与部分”的问题来思考。

第三种核心模型是“比较关系模型”

在学生掌握了数概念以后，就进入了以数概念来发现问题、分析问题、解决问题的过程，这个过程的核心内容就是运用数的比较关系模型。

首先是理解数的大与小。史宁中教授说过：数量关系的本质是多与少，把这种关系抽象到数学内部就是数的大小。理解大与小的基础是理解“同样多”，理解“同样多”是建立在“一一对应”思想基础上的。先有数量的多少，才有数的大小。如：有3把椅子，3位同学，椅子够用吗？为什么？这里就是把椅子和人之间建立了一一对应的关系，一个人对应一把椅子，椅子和人都没有剩余，这时就说椅子和人的数量同样多，用数表示就是3=3。上述情境进一步发展：这时又来了一位同学，椅子够不够用？为什么？学生可以发现，此时人数有了剩余，也就是人数是由两部分组成的，一部分是和椅子同样多的，另一部分是多出来的，所以4>3，这是拿人数和椅子数比。如果用椅子数和人数比，就得到3<4。这是比较关系最基础的模型，在以后的学习中，会迁移运用到“……比……的几倍多（少）……”“……比……的几分之几多（少）……”“……比……多（少）几分之几”“……比……的几倍多（少）几分之几”等问题的解决中。只有将“大与小”的比较关系理解透彻，才能形成此类问题的系统策略，学生才能够自觉地运用比较关系模型去分析问题，从而解决问题。

在理解大与小的关系基础之上理解“倍”。

“倍”是大数同小数比较产生的概念，分数则是小数同大数相比较产生的概念。当大数是小数若干倍的时候，小数就是大数的几分之一，这是最初的分数概念。在教学中我们常采用把一个整体平均分成若干份的方法来理解，是建立在平均分基础上的分数概念，可以归结为一份同若干份相比较产生的一种数。

十进制模型、整体与部分模型、比较关系模型，贯穿于小学生学习数学的整个阶段，分布在各册教材中，是学习小学数学的重中之重，应引起我们高度重视。

 

（《山东教育》2012年9月第25期）