数学教学的本质是素质教育

 

【编者按】方运加教授是我国中小学数学教学界的泰山北斗，他对古今中外的中小学数学教育史了如指掌，他对世界中小学教育的历史与现状有着独特的思想和观点，对我国新一轮课程改革更是有着独特的见解。本刊中学版2010年第5期曾发表过方教授的《中国的数学教育为什么不能出大师》一文，在中小学数学教育界引起了强烈反响。为了让广大中小学数学教师较好地了解方教授的思想，吃透新课改的精神，本刊将陆续刊发有关文章。方教授的观点也许仅是一家之言，广大读者可以借鉴，也可以争论。我们欢迎读者们把各种不同的看法、不同的观点，写出来，寄过来，以共同交流。

甲：数学教育是素质教育？

乙：是！

甲：那数学课就是素质教育课啦？

乙：应该是！这还要取决于数学教师的专业素养和教学水平。

甲：那语文教育呢，也是素质教育吗？

乙：当然是！与语文教育不同，数学教育是跨文化的科学教育，人类共用统一的数学语言。科学的表达离不开数学，科学的发现也离不开数学。

甲：你这是学科本位主义，人为放大学科的教育价值，有违教育学的原则。

乙：你们长期用学科本位主义大棒棒打数学教育，同时也棒打其它学科教育，危害十分严重，给我国数学教育带来的损害不小。从古到今，人人都要从小学习的数学科学早就被公认为是人的素质的构成要素，这是常识，你连这都不懂？你认真学过数学、领悟过数学吗？你体会到了数学赐给人类的睿智吗？

甲：数学在中小学校不过是一个学科、一门课，讲授的不过是小学算术或初等数学，是年复一年的老一套，没有什么可研究的。真正值得研究的是教育思想、教学方法，教师应该在这方面下工夫。而素质教育是中国对世界教育理论的贡献，就像“道”“功夫”等中国文化概念一样，正在产生越来越广泛的国际影响。

乙：小学数学、中学数学凝聚了数十代思想家、科学家、数学家以及广大劳动人民的智慧，积淀丰厚，是一座取之不尽的思想宝库，是人的素质成长的永恒的营养品。数学的思想和数学的传授方式是不可分离的，是数学在其发展过程中自动生成的。数学的任何进展都要求其他人能看得懂，这是数学教育发展的动力。比之数学教育，你们不过是在用“素质教育”这个词造句、放空话。二千多年前，数学与哲学尚未分离的时代，人们就已经意识到数学教育对人类自身发展的重要性，由数学教育形成的观点或认识在哲学层面得到概括，从那时直到今天，哪有什么“世界教育理论”一类的说法？再说，离开了学科教育，离开了数学、语文、化学、物理、德育、体育、美术、生活常识等学科教育来谈素质教育，不是形而上学吗？不是空话连篇的说教吗？邓小平同志强调培养人才的质量标准就是毛主席所说的，应该使受教育者在德育、智育、体育几方面都得到发展。数学教育的价值就在于此，数学是科学的语言，同时也是素质教育的“高速路”。研究素质教育的人士应该懂得一些数学的知识及思想，应该了解数学教育的发生、发展过程。

这是两位成功的教育人士的对话，听后，我大有感慨。

一、为数学而战

1566年年末，10岁的丹麦人第谷·布拉赫在圣诞晚会上，与他的同学发生了一次争吵。他们争论谁的数学更出色。这两个小孩当时都喝了些酒，为争论而走到外面去决斗……决斗以第谷的鼻梁被削掉而告终。从此第谷只能拥有一个金属鼻梁了。第谷！何许人也？知道发现行星运动三定律的开普勒吗？就如同没有开普勒对行星运动规律的发现，牛顿万有引力定律的发现就缺乏基础一样，没有第谷的基础性、前驱性工作，行星运动三定律的被发现就一定会被大大推迟。

第谷不算是著名数学家，但他创造了重要的科学研究方法，即：若要测量某个事物，就要用不同的仪器反复几次测量这个事物，取所有测得结果的平均值作为测量结果。这在今天已经是被人们常用的科学研究方法。这个方法在今天的小学阶段也可以让学生掌握。现在的小学数学教师习惯于指导学生用一种量具量一次即得出结果，但实际上用一种或多种量具量多次，并将量得的结果相加再除以量得的次数，这样经过数学处理的度量结果才更接近精确值。第谷还总结出了一种重要的天文研究方法。他14岁时，因对一次日食的观测而点燃了对天文学的热情。17岁时他用一副大大的木制圆规去测量两个天体间的距离。随后，他总结出：研究天文所需要的就是制定一个测量天空的长期方案，要固定在一个地方连续几年去进行测量。

第谷，10岁就可以为谁的数学更好而与他人打斗，甚至牺牲掉了鼻梁。设想：在16世纪的丹麦，两个小孩为谁的数学更好而争论以致要用“决斗”解决问题，引人遐想啊！丹麦这个日德兰半岛国家比之当时神圣罗马帝国的中心布拉格、比之巴黎不会更先进、更发达，这说明起码在欧洲，数学已经成为小孩子们必学的知识了，并且数学学得好显然是非常荣耀的事。

第谷用15年时间，不间断地测量每颗恒星在天空的位置，并将测量结果标定在大天球仪上。他平均每周能够标定一颗恒星，一共标定了777颗位置精确的恒星。

二、夸美纽斯认为数学教育是素质教育

第谷出生之后的36年，有个叫夸美纽斯的捷克人诞生了。他写了一本闻名后世的书——《大教学论》，这本书奠定了今天中小学校班级集体授课制和分科教学法的基础。他有一句非常漂亮的话点明了教育的主旨，“假如要形成一个人，就必须由教育去形成。”这句话被之后直到今天的人们从不同的角度去利用、去诠释，以致大有可能已经完全失去了夸美纽斯说这句话的本意。夸美纽斯主持过小学、中学教育，他在书中谈到在拉丁语学校里，凡是读完了全部课程的青年都应该掌握七艺，其中包括算术和几何这两艺。

夸美纽斯认为：古人学习数学后开始去考察自然，所以他们把数学叫做“科学”；柏拉图不许不懂几何学的人进他的学园(Academy)。因为研究数与量的科学特别投合感官，所以易于了解；除此以外，它们在想像上又能生出一种强有力的印象，使心灵得到准备，去作更抽象的研究。夸美纽斯未用“素质”二字，但用我们今天的眼光来看，他揭示了数学这门科学与人的能力之间的关系，将数学作为人的素质要件来看待，学习数学是一种“心灵的准备”，可以为作更抽象的研究打基础。显然，在夸美纽斯的教育理论中，数学是人的素质的构成部分，数学教育可以使人做更高层次的事。值得注意的是，在夸美纽斯时代，数学科学的水平尚未超越我们今天称之为初等的水平，微积分还没有被创立。但夸美纽斯显然意识到了数学的价值，意识到了数学教育的育人价值，他认为学校开设数学课可以提高人的素质。夸美纽斯断言数学作为从婴儿期就开始学习的知识，可以使人更具抽象力，能作更抽象的研究。这无疑是在昭示数学可以使人更智慧、更聪明。夸美纽斯的认识不是凭空而来，一定是以当时社会的共识为基础的，怪不得小小年纪的第谷要为谁的数学更好而打架呢。

三、数学是素质教育的必修课程

第谷、夸美纽斯的关于数学或数学教育的认识来源于社会的共识，而这种共识则是传承下来的。在他们之前，欧洲已经有了相当规模的中小学教育体系。当时，学校已经是普遍的社会现象，有私立的，也有公立的，既有小学也有中学，除了学习法语、拉丁语、法律、逻辑学外，还学习四艺。何为四艺？音乐、算术、几何和天文是也。

8世纪晚期，在欧洲发生了一次设立学校的大爆发。当时的查理大帝下令在全国范围内建修道院和大教堂学校，我们今天熟悉的小学、中学就此产生。这些学校课程的第一个设计者是爱尔兰人阿尔昆(730-804)。他将七艺设计为学校课程，几何、算术都包括在内。保守的中世纪的天主教会一向是科学探索的反对者，但唯独给数学教育开了绿灯，大主教奥古斯丁曾说：大自然是上帝的数学设计。请看这幅创作于13世纪的画：上帝正手持圆规规划宇宙。

        

可以说，在中世纪的欧洲，在当时的中小学校里，数学教育学科拥有稳固的地位。我们可以用今天的惯用词来说明夸美纽斯对数学教育的诠释是：数学是高素质人的素质构成，是素质教育，不是实用的教育，譬如，将要在工场从业的人可以不安排数学课程。

四、以“用数学”为主旨的中国数学教育

我们中国呢？与第谷生活年代同时，程大位(1533-1606)著述了《算法统宗》，这是我国明代流传最广的一部数学著作。书中收集了各种算盘的式样和各种运算口诀，是中国式的“用数学”的经典书，是实用大全式的数学著作，是近两千年的中国数学传统的延续。直到之后的1607年，事情似乎将有转机，当时的中国官员徐光启和西方传教士利玛窦合译了前六卷《几何原本》，这本应该成为中国近现代数学教育的发端，可惜，这本能使中国的数学或数学教育发生巨变的书几乎被束之高阁近300年。有专家曾说《几何原本》是清代数学家必读的数学书，这话要是不错的话，试问清代有几个人可称之为数学家？屈指可数啊！这本书自译成中文后并没有马上成为提高国民素质的教科书，长期未能发挥教育的作用。二百几十年来，在中国，对此书知者甚少。中国没能产生第谷，没能产生开普勒、牛顿，比较直接的原因应该是没能从小普及数学知识，没能实施全面性的数学普及教育。在西方，自中世纪始，读小学、中学的人并不罕见，而且已成规模，甚至产生了夸美纽斯《大教学论》那样的理论总结，而同期的中国社会对此还一无所知。

五、官员是数学教育的“主体”

纵观中国二千多年的历史，数学家出了不算少，从历算学家张苍开始，祖冲之、李谆风、贾宪、沈括、秦九韶，难以尽数。这些人不是官员，就是为官员服务的，有哪个肯专职教小孩子学数学的？中国有没有以幼儿、青少年为教育对象的数学教育？不能说一点没有，但从来没有形成过气候或规模是肯定的。尽管早在汉代，就有有识之士认为算学应该从小孩学起。但数学终究没能成为像四书五经那样的必读知识，未能成为基础教育的课程。尽管如此，我们仍不难推测，在中国的历史长河中，肯定有数学教育的位置，否则，官员怎么课税、怎么统计人口、怎么确定田亩、怎么鱼肉乡民盘剥百姓、怎么将农民的负担确定在一个使其不致造反的水平上？这些都需要精确繁杂的计算。钱能算至毫厘，粮能算至斤两。算计不仅精细，还大有机巧。另外，战争、营造、历法、天象观测等官方事业更是离不开数学，所以，历史上的数学教育虽然未惠及小孩子，但肯定使官员们受益匪浅。这也是为什么中国数学的发展长期向实用方向使劲的原因。各级官员是数学学问的最大、最基本的消费者，他们有文化、参加过科举考试，《九章算术》《周髀算经》一类的数学书就是迎合他们的需要而著述的。试想，一个官员若不掌握一些数学知识，就算是干“横征暴敛”的事，也会有绕不过去的收支方面的技术障碍需要用算术方法来解决。最起码的，官员要配有懂数学的幕僚来辅佐。总之，清末之前，中国的绝大多数小孩子基本未曾受过数学教育，享受数学教育的是那些急着“用数学”的官员。例如，隋唐时期的民间和官方均曾设立过学习数学的专门学校，但培养的是大人，属仕途教育。而如前所叙与隋唐同时代的德国、法国、比利时、荷兰则已经开始设立招收儿童、少年学习七艺的学校了。

看来，清末之前，中国的数学教育是让成年人、让官员学了就用的教育，是实用的教育，并非素质教育，与夸美纽斯所论的学校教育相距甚远。如果设想一下，不必太早，就从1607年开始，将算术、几何与三字经、百家姓一块列入中国青少年儿童的必学科目，再与八股文并列进入科举考场，哪怕如同今日的应试教育那样的为考试而学数学，那中国近现代史一定不会是已知的这个样子。

当然，即便如此，仍不能断言中国的现代意义上的基础数学教育产生的比欧美等先进国家晚许多。

实际上，真正为人类现代文明、现代技术、现代科学奠定了基础的中小学数学教育发端于19世纪上半叶。

六、数学成为中小学校的主要学科

德意志哲学家威廉·冯·洪堡(WichelnavonHumboldt)于1809-1810对中等教育制度进行了全面的改革。创造了德意志国家的教育体系，即十年制中学(学生年龄为10-20岁)。课程时间分配如下：

拉丁文(25%)，希腊文(16%)，德文(15%)，数学(20%)，历史和地理(10%)，科学(7%)，宗教(7%)。

请注意：1840年时，英国的男童学校教学时间的75%-80%(每周40小时)是用在学古代经典上，用来学数学等其它课程的时间极少。就课程设置来看，英国男童学校与我国传统私塾教育的课程状况很相近，但比洪堡设计的现代中小学教育则落后很多。

看来，西方各国中小学校的课程内容差别还是很大的。在德意志的先进教育体系下，我们熟知的伟大数学家黎曼也不过是到14岁时才开始学习由洪堡开创的中小学教育课程的。

中国，1818年在香港诞生了第一个由英国人开设的美华学校；1839年美国传教士布朗在澳门开设了一所小学；1844年英国传教士在宁波创办了相当于中学的女塾；1849年法国传教士在上海创设徐汇公学。这都是具有现代意义的小学和中学。虽然说，19世纪的中国没有赶上中世纪的学校教育的爆发式发展，没有赶上夸美纽斯时代的基础教育浪潮，但是，中国现代意义的基础教育的起始时间并不算晚。自19世纪上半叶之后的几十年间，由教会或传教士办的学校在中国星罗棋布，这些学校一般都开设了数学课，用的是美、日、德、法等国家的数学课本。例如，1853年出版的《数学启蒙》，1859年由李善兰、伟烈亚力合译的德·摩根的《代数学》，1859年出版的《代微积拾级》等等。到19世纪70年代，中国人开始自己举办官立或私立的中小学堂，例如，1878年上海的正蒙书院、1897年绍兴的中西学堂等。这些学校均采用西方的班级授课制，把读四书五经改为学习科学技术知识，均开设具有近现代意义上的数学课，学习代数和几何。中国中小学学校数量的爆发式增长是在20世纪的最初十年。从这个时期的学堂里走出来的年轻人创造了中国现代化的历史、完成了从未有过的社会变革。在这样的学堂里，数学是必修课，小学有算术课，中学有代数课、几何课、概率课、统计课，数学教学内容是从西方、从日本全盘引进的，教学方法则已经开始形成中国自己的特色。

七、以“用数学”为主旨的现代中小学数学教育

中国现代意义上的初等数学教育从发端来看，从普及性来看，与世界先进水平相比较并不算太晚，也不很落后。中国人吸收新鲜事物的能力极强、极快。那么，中国人为什么、又是在什么背景下实施近现代数学教育的？清王朝末代重臣恭亲王的作用值得一书。第二次鸦片战争，西方人把中国人打痛了，欺负惨了！中国的一些有识之士认为没有坚船利炮是要亡国的，为此，张之洞、李鸿章成了第一拨主张搞洋务运动、办实业的人。恭亲王更是意识到现代工业离不开数理方面的学问，而这些学问存在于西方，于是上奏请旨，要求在官办的同文馆里设算学馆，聘请中国数学家李善兰担任总教习。这可以算是临时抱佛脚的中国现代数学教育之发端。几乎同时，具有官僚买办性质的实业家盛宣怀、张謇则创办了中国第一拨师范学校或中小学校，这些学校引进了西方数学书作为课本，学习西方先进教育、先进技术。当时，流行于中国的数学教育观念是：学是为了用，学好数理化走遍天下都不怕。在近现代数学教育被引进的同时，经世致用的实用思想也得到了传承并影响至今。在我国，数学的学习内容虽然现代化了，但数学学习的根本目的，两千年来变化不大。数学能使人更聪明，数学能力是重要的科学能力，这是人人皆知的公共知识，是常识，但在中国，直到今天，数学仍像古时的科考一样，沦落为晋身加爵的手段，谋求生活便利的工具。数学教学中蕴涵的思想价值、育人价值被社会人士包括学校教师普遍忽视，能考出好分数的数学教育就是好教育、就是好数学。实用主义的数学教育风气十分流行。

八、数学教育是人类文明传承的先导，数学是跨文化的文明结晶

早在两千多年前的古希腊就已经产生了数学教育就是素质教育的认识与实践，这是人类先进的教育思想，这一思想曾被批判为是脱离实践或实际的繁难偏旧的数学教育。试想在两千六百年前，人们会因为一个毫无实利可言的几何命题获证而欢呼雀跃，以至要宰几百头牛来欢宴庆祝，对理性的力量和真理发现的崇拜，难道不是高素质的人之所为吗？

柏拉图在其所著的《美诺篇》中记述了哲学家苏格拉底的一堂数学课。苏格拉底从假设自己一无所知出发，通过提出一个又一个的问题，以一问一答的方式，使一个被认为不懂数学的童奴学会了“以正方形的对角线为边长构成的正方形的面积是原正方形的两倍”。尽管苏格拉底认为这个知识在童奴的头脑中是先备的、固有的素质，仅仅是通过苏格拉底提及才被发掘出来，并不是后天教育的结果，但换个角度看，苏格拉底的这个教学案例，却在客观上证明了数学知识是可以被传授的，哪怕是毫无文化的小奴隶。这是已知的有明确文献记载的最早的数学教学案例，是一篇教学实录，有点像人们熟悉的启发式教学。古希腊的圣贤们，泰勒斯、毕达哥拉斯、亚里士多德、柏拉图、苏格拉底在研究数学的同时，也在传播数学。数学研究和数学教育被视为一体。若说教育学有个什么开端的话，这个开端就是数学教育，当时的数学教育的成果最终形成了数学百科全书——几何原本。这本由欧几里得创作，并被后世人所完善的科学巨著，是应数学课，应数学教育的需要，也是应人类教育的需要而产生的。这本书应该成为今天的教育学的范本，只可惜，事实至今未如所愿。古希腊推崇和研究数学的风气甚浓，一流的思想家以探讨或推广数学知识为己任，前述夸美纽斯就提到过柏拉图在其学园门口高悬“不懂数学者莫入”的牌子，而之后的欧几里得更是阐明了数学是素质教育的思想。当一个学生问他，学习几何有什么好处时，欧几里得令人递给了他一元钱，说这个人为了一点好处去学数学，就让他拿走这点好处吧。当有国王问学习几何学有没有更容易的途径时，他的回答是“几何学习无王者之道”。表达了人人都可以学几何，而且面对几何学人人都平等的思想。在古希腊，数学就是几何，几何就是数学。当时人们对数学的崇尚是源于其显然可以使人更智慧，可以更有效率地提升人的素质，是素质教育之必须。这个思想影响了中东伊斯兰的数学教育，影响了西方中世纪的数学教育(中世纪的天主教会常常禁止各种科学探索活动，唯独数学科学是教会办学机构的必学科目。僧侣们也认为人的智慧是需要通过数学的学习来提高的)。这个时期的数学被广泛应用，但对数学研究的进展则相对缓慢，数学教育仍秉承希腊的传统，不是以应用为目的，更多地被当作人的知识修养的构成，数学成绩的优劣是谁更聪明的指标性量度，数学知识是高素质社会成员的必备知识，需要从小学起。

九、数学教育的百年困惑

同期的中国，数学的学习指导思想是实用理性，提倡学有用的数学，学习数学的最大群体是官员或商贾，这是一种以实利为目的的数学教育，我们可以从中国的古算书上充分领略这个思想。在西方是以提高人的素质为核心的数学教育，在中国则是以实利为目的的数学教育，而且这种数学教育思想在19世纪西方数学教育进入中国时获取实利仍为学习数学的思想出发点。我们从1866年恭亲王给皇上的奏折上看，“盖以西人制器之法，无不由度数而生”“识时务者，莫不以采西学、制洋器为自强之道”，自此衍生出“学好数理化走遍天下都不怕”的流行语。到今天，这轮课程改革的要旨仍是学习有用的数学、学习生活中的数学、将数学教学生活化，这类说法已成为数学教育的主流语言，以生活化的情境创设作为数学学习的背景已成数学教学的常态，为广大数学教师所熟悉，这使得数学教师们普遍忽视了数学科学本身的背景、数学科学本身的思想特点、数学技巧在人的发展过程中的营养价值。总之，忽视或轻视数学本身是这轮数学课程改革的鲜明特征，能教学自然数及其运算的小学老师有很多，但懂得自然数及其运算原理的小学老师很少很少；能讲几何直观变换的初中数学老师有很多，但懂得几何思想之精妙所在的数学老师则极少极少；知道几何作图这回事的数学老师有很多很多，但懂得几何作图的本质是演绎证明的老师则少之又少；强调数学有用的老师极多极多，但挖掘数学思想和方法的育人价值的老师极少极少；喜欢用刻度尺、量角器说明三角形全等判定的老师极多极多，但知晓证明三角形全等的思想价值就在于摆脱了一般的动手量或做的老师则极少极少。总之，我们的数学教育属性因被置于实利、实惠的地位而不被看作是素质教育的重要构成部分，进而导致出现了当前这样的局面。对此，我们要有清醒、正确的认识。

 

（《山东教育》2010年第25期）